Logaritmos, concepto, propiedades, ejemplos.

El logaritmo es un exponente, al que debe ser elevado un numero llamado base, para obtener otro numero llamado argumento. Veamos esto en un ejemplo.

Sea el Log₂⁸ = 3  Aquí la base es dos (2), el argumento es ocho (8) y el logaritmos, es decir el numero que hay que elevar a la base dos para obtener el argumento ocho, es tres (3).

Mas ejemplos :

Log₃^1/9 = -2  Porque si elevamos el 3^-2 = (1/3)² = 1/9

Log_√2⁴= 2 Porque si elevamos la raíz cuadrada de 2 a la cuarta (√2)⁴, índice de la raíz (2) y potencia del radicando (4) se simplifican y queda 2²= 4

Log_3/5^5/3 = - 1 Porque si elevamos (3/5)^-1 se invierte la base y cambia de signo la potencia, quedando (5/3)¹ = 5/3

La incógnita no siempre debe ser el logaritmo, puede que la incógnita sea la base o el argumento. Veamos :

Log_(2x-3)²⁵= 2  Aquí la incógnita es la base. Para resolver ponemos todo en su lugar según la definición dada: (2x-3)² = 25 y despejamos 2x-3 = √25 => 2x = 5+3 => x = 8/2 => x =4, entonces la base es 5.

Log₄^(x-7) = 2 Aquí la incógnita es el argumento. Usando el concepto de logaritmo ponemos: 4² = x-7 y despejando nos queda => 16 + 7 =x por lo que x=23 y el argumento es 16.

Pero tambien la incógnita pueden ser la base y el argumento como veremos en ese ejemplo.

Log _x^(-2x+3)= 2  Para resolver usamos la definición colocando la base (x) elevada al exponente (2) e igualando al argumento (-2x+3) Así :

X² = -2x+3 igualamos todo a cero quedando x²+2x-3 = 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado con la formula de Baskara, donde a = 1 ; b = 2 y c = -3

Resolviendo encontramos los dos valores de x que son x₁=1 y x₂= -3

Por lo tanto la base puede ser uno (1) y en ese cse el argumento es tambien uno (1) o la base es menos tres (-3) y en ese caso el argumento es nueve (9).

Propiedades de los logaritmos

1)  Log_a^(b.c) = Log_a^b + Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un producto es igual a la suma entre los logaritmos de los factores.}

2)  Log_a^(b/c) = Log_a^b - Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un cociente, es igual a la diferencia entre los logaritmos del numerador y el denominador (en ese orden).}

³⁾  Log_a b^c= c . Log_a^b

^{Es decir que el logaritmo de una potencia, es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la base de esa potencia.}

^{Otras propiedades :}

Log_a^a = 1       Osea que independiente de la base, si el argumento es la misma base, el logaritmo es siempre uno (1)

Log_a¹ = 0  Osea que para cualquier base (excepto cero), si el argumento es 1 el logaritmo es cero (0).

Nota : Recuerden que una raíz es en realidad una potencia fraccionaria, es decir que la propiedad tres (3) se puede usar tambien para raíces.

Videos :  

Función Logarítmica : 

Logaritmos concepto, ejemplos, propiedades.

Cuadrado y Cubo de un Binomio

Cuadrado y Cubo de un Binomio

Formula del Cuadrado de un Binomio

(a + b)² = (a)² + 2. (a). (b) + (b)²

^{En forma coloquial :}

^{El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble producto del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino.}

Ejemplos de Cuadrados de un Binomio :

(4x + 5)² = (4x) ² + 2. (4x). (5) + (5) ²

                     = (4) ² (x) ² + 40 x + 25

                     = 16 x² + 40 x + 25

(-6x³ + 2y²)2 = (-6x³)²+ 2. (-6x³). (2y²) + (2y²)²

                     = 36x^{6 –} 24x³.y² + 4y⁴

(2/3x – 5/2y⁴)² = (2/3x)² + 2. (2/3x). (-5/2y⁴) + (-5/2y⁴)²

                                =  4/9x² + 10/3xy⁴ + 25/4y⁸

^{Formula del Cubo de un Binomio}

(a + b)³ = (a)³ + 3. (a)². (b) + 3. (a). (b)² + (b)³

^{En forma coloquial :}

^EL cubo de un binomio es igual al cubo del primer termino, mas el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo termino, mas el triple producto del primer termino por el cuadrado del segundo termino, mas el cubo del segundo termino.

Ejemplos de Cuadrados de un Binomio :

(7x²+ 2y³)³ = (7x²)³ +3 (7x²)² (2y³) +3 (7x²) (2y³)² +(2y³)³

                                   = 343x⁶ + 3. 49x⁴. 2y³ +3. 7x². 4y⁶ + 8. y⁹

 (3x - 2y⁵)³ = (3x²)³ + 3 (3x)² (-2y⁵) + 3 (3x) (-2y⁵)² + (-2y⁵)³

                       = 27.x⁶ + 3. 9x² (-2y⁵) + 9x. 4y¹⁰ + (-8).y¹⁵

                   = 27x⁶ - 54x²y⁵ + 36xy¹⁰ – 8y¹⁵

^{Video :}

Reglas o Criterios de divisibilidad

Reglas o Criterios de Divisibilidad 

Nota : Divisible significa que la división sea exacta (cociente entero y resto cero)

Un numero es divisible por :

2 (dos) cuando termina en cifra para o cero.

Ejemplos :

34 ; 58 ; 42 ; 70 etc.

3 (tres) cuando la suma de sus cifras da múltiplo de tres.

Ejemplo :

111 => 1+1+1 = 3 

24 => 2+4 = 6

78 => 7+8 = 15

4 (cuatro) cuando el numero formado por sus dos ultimas cifras es divisible por 4.

Ejemplos : 1024 porque 24 es divisible por 4.

1836 porque 26 es divisible por 4.

5 (cinco) cuando termina en cero o cinco. 

Ejemplos : 60 ; 25 ; 135 etc.

6 (seis) cuando es divisible por 2 y 3 al mismo tiempo.

Ejemplos : 42 porque termina en cifra par y la suma entre 4 y 2 da múltiplo de 3.

588 porque termina en cifra par y la suma entre 5+8+8 =21 (múltiplo de 3)

150 porque termina en cero y la suma de sus cifras da 6.

7 (siete) cuando la diferencia entre el numero sin la cifra de la unidad y el doble de la cifra de la unidad da múltiplo de siete.

Ejemplos : 1778 => 177 - 2x8 = 177 - 16 = 161. 161 es múltiplo de 7 (161/7 = 23)

11564 => 1156 - 2x4 = 1156 - 8 = 1148. Y  1148 es múltiplo de 7 (1148/7 = 164)

8 (ocho) cuando el numero formado por sus ultimas tres (3) cifras es divisible por 8.

Ejemplo : 3616 porque 616 : 8 = 77

9728 porque 728 : 8 = 91

9 Un numero es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras en nueve o múltiplo de nueve.

10 (diez) cuando termina en cero (0)

11 (once) cuando la suma de las cifras que ocupan la posición par menos la suma de las cifras que ocupan la posición impar es igual a cero o un numero múltiplo

 de once (11).

Ejemplos :

5016 => (0+1) - (5+1) = 0

6182 => (1+2) - (6+8) = 3 -14 = -11

2827 => (8+7) - (2+2) = 15 - 4 = 11

12 (doce) cuando el numero es divisible por 3 y por 4 al mismo tiempo.

Ejemplos :

936 => porque 36 es divisible por 4 y la suma entre 9+3+6 =18 (múltiplo de 3)

8268 porque 68 es divisible por 4 y la suma entre 8+2+6+8 = 24 (múltiplo de 3).

Pasaje de decimal a fracción

Pasaje de decimal a fracción 

Hay dos tipos de decimales, los exactos y los periódicos, ademas los periódicos se subdividen en puros y mixtos.

Decimales Exactos

Son aquellos en donde la parte decimal termina en algún momento.

Ejemplo : 1,5 ; 0,002 ; 31,55 etc.

¿Como los pasamos a fracción?

Rta : Ponemos todo el numero sin la coma y lo dividimos por un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el numero.

Ejemplos : 

1,5 = 15/10 y simplificado queda 3/2

0,002 = 2/1000 que simplificado queda 1/500

31,55 = 3155/100 = 631/20

Decimales Periódicos

Son aquellos en donde la parte decimal nunca termina, es decir que siguen hasta el infinto.

Puros : Son aquellos en donde toda la parte decimal se repite.

Ejemplos : 1,55555... ; 0,373737.... ; 2,018018....

¿Como se pasan a fracción?

Rta : Se pone todo el numero sin la coma y se le resta la parte entera. Luego a esa resta se la divide por tantos nueves (9) como cifras decimales se repiten.

Procedimiento :

1,5555... = (15-1)/9 = 14/9

0,373737... = 37/99

2,018018... = (2018 - 2)/999 = 2016/999 que simplificado por tres (dos veces) queda: 672/333 = 224/111

Mixtos : Son aquellos en donde la parte decimal contiene primero números o cifras que no se repiten y luego números o cifras que se repiten.

Ejemplos : 2,714444... (el 71 son las cifras no periódicas y el 4 la cifra periódica) 

0,83333...  (el 8 es la cifra no periódica y el 3 la periódica)

1,25818181... (el 25 son son las cifras no periódicas y el 81 las periódicas)

¿Como se pasan a fracción?

Rta : Se pone todo el numero sin la coma y se le resta todo en numero sin las cifras periódicas. Luego a esa resta se la divide por tantos nueves (9) como cifras periódicas tenga el numero, seguido de tantos ceros como cifras no periódicas tenga.

Procedimiento :

2,714444... = (2714 - 271)/900 = 2443/900

0,83333... = (83 - 8)/90 =75/90 = 15/18 = 5/6

1,258181... = (12581 - 125)/9900 = 12456/9900 = 6228/4950 = 3114/2475 = 1038/825 = 346/275

Video :

Gráfico de Rectas con la pendiente y la ordenada al origen

Gráfico de rectas con pendiente y la ordenada al origen

Suma y Resta de Números Enteros

Suma y Resta de Números Enteros

Primer caso de factoreo : Factor Común

Primer caso de factoreo

Factor común

Analicemos un ejemplo simple primero (con una sola variable):

Sea la expresión 15X⁴ + 20X⁷- 30X⁵ Para obtener el factor común de los coeficientes, deberíamos calcular el MCM ya explicado en otra entrada (al final de la entrada está el link al video de MCM y MCD), pero en este caso es fácil ver que el 5 es el máximo número que está en el 15, 20 y 35 por lo que el cinco (5) es el factor común.

Para la variable (X) vemos primero si se repite en TODOS los términos y al ser así, se puede sacar como factor común, pero elevada a su menor exponente (en este caso el 4).

5X⁴ (3X⁰ + 4X³ – 6X¹)  Para obtener los términos dentro del paréntesis, se procede dividiendo cada termino original  con el factor común.

Así: 15X⁴: 5X⁴ = 3X⁰ pero como X⁰ = 1 y 3.1 =3 solo podemos poner el 3.

20X⁷: 5X⁴ = 4X³ y - 30X⁵ = – 6X¹ pero como X¹ = X no ponemos el exponente.

En definitiva queda así: 5X⁴. (3 + 4X³ – 6X)

Veamos otro ejemplo con varias variables.

45XYZ² + 60YW.Z⁴

 Entre el 45 y el 60 el MCM es el 15 y las variables que se repiten en todos los términos (los dos términos) son la Y y la  Z La menor potencia de Y es uno y no hace falta poner ese uno, mientras que menor potencia o exponente de Z es 2. Entonces el factor común es 15YZ²

Quedando: 15YZ² (3X + 4WZ²)

Notemos que al no estar la X en el factor común la podemos imaginar como que está pero elevada a la cero (X⁰) que en realidad vale cero (todo número elevado a la cero da uno) y entonces al dividir X con 1 = X

Lo mismo ocurre con la W.  

Tal vez necesites saber las propiedades de las potencias de igual base, por lo que aquí las dejo:

1)1)      X^m.X^p = X^m+p

22)      X^m: X^p = X^m-p

33)       (X^m)^p = X^m.p

Entrada   MCM y MCD

 

Saludos.

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.

Primero que nada debemos saber cuales son los semiplanos con los que trabajaremos. ¿Pero que es un semiplano? Rápidamente, imagínense que una hoja de papel es un plano, si la cortamos en dos partes, tendremos dos semiplanos ¿ok? Bueno, sigamos. Hay dos semiplanos con respecto a la recta transversal que llamaremos “ T “ y si dos ángulos estan en distintos semiplanos con respecto a esta transversal, serán llamados alternos. Luego tenemos tres semiplanos mas, uno entre las rectas paralelas “ A “ y “ B “ , que son las rectas que tienen la misma dirección, también llamadas rectas para mujeres, o sea para lelas jajaja… ayyyy, acabo de perder la audiencia femenina!! Ufaaa ;(….Bueno, al sector entre estas rectas lo llamaremos semiplano interior y los ángulos en este semiplano son llamados interiores. Luego tenemos dos mas, que son semiplanos exteriores por afuera de estas rectas y a los ángulos en estos semiplanos se les llama exteriores. La imagen animada (Gif.) ilustra lo que acabo de decir.Empecemos con la clasificación de los pares de ángulos entre dos paralelas, cortadas por una transversal.

Ángulos correspondientes

Dos ángulos son correspondientes cuando están en un mismo semiplano, con respecto a la transversal y además uno es interior y el otro exterior. En el dibujo de mas abajo, estos ángulos son :

El 1 y el 5 . El 2 y el 6 . El 4 y el 8. El 3 y el 7

Dos ángulos correspondientes, son iguales.

Ángulos Alternos Internos y Externo

Dos ángulos son alternos, si están en distintos semiplanos con respecto a la transversal. Ahora bien, si además de esto, ambos están en el semiplano interior, son alternos internos o si ambos están en el semiplano exterior, son alternos externos. En el dibujo estos pares de ángulos son :

Alternos internos : El 2 y el 8. El 5 y el 3.

Alternos externos : El 1 y el 7. El 4 y el 6.

Dos ángulos alternos, sean internos o externos, son iguales.

Ángulos Conjugados Internos y Externos

Dos ángulos son conjugados, si esta en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Ahora bien, si además de esto, ambos son internos, son llamados conjugados internos o sin ambos son externos, se llaman conjugados externos. En el dibujo estos ángulos son :

Conjugados internos : El 2 y el 5 . El 3 y el 8.

Conjugados externos : El 4 y el 7. El 1 y el 6.

Dos ángulos conjugados internos o externos, son suplementarios, o sean que la suma entre ambos da 180°.

Vídeo sobre el tema

Saludos.

Regla de Rufini

REGLA  DE  RUFFINI

Esta regla se utiliza cuando se quiere dividir un polinomio o expresión algebraica, por un binomio de la forma x-a
Sea el polinomio P(x) = x²-3x+5  y queremos dividirlo por el binomio Q(x) = x-2
Colocamos los coeficientes de P(x)  horizontalmente :

1        -3        5

Abajo ponemos el " -2 "  pero cambiado de signo, o sea ponemos un " 2 "
Bajamos el primer coeficiente " 1 " del polinomio P(x)  y lo multiplicamos por el " 2 " de abajo (el resultado de este producto es " 2 "), para colocar el resultado debajo del segundo coeficiente de P(x)  " -3 "
Sumamos o restamos según corresponda, en este caso restamos -3+2 = -1
A este " -1 " lo multiplicamos por el 2 de abajo ( da " -2 " ) y lo ponemos debajo del siguiente coeficiente de P(x) que es " 5 "
Sumamos o restamos según corresponda, en este caso restamos 5-2 = 3
Este ultimo numero " 3 " es el resto de la división y los anteriores (  1 y -1 ) son los coeficientes del cociente de la división, que aun tenemos que armar.
Para armar el cociente, solo tenemos que agregar la parte literal " x " multiplicando a cada uno de estos coeficientes. Las potencias de estas "x" comienzan con un grado menor del grado del polinomio P(x)  y van descendiendo de a un grado.
Aquí un gif que muestra el procedimiento : Debes clikear en la imagen para ver todo el procedimiento paso a paso.

El cociente se completa con la indeterminada, en este caso "x" comenzando con una potencia de un grado menor al dividendo x²-3x+5 (que en este caso es de grado 2), quedando  : 1x-1
Y el resto de la división es 3.

Canal TonySabe

Saludos.

Porcentaje (Descuento y Recargo)

Porcentaje (Descuento y Recargo)

¿Cuál es el concepto del porcentaje?

Imaginemos que tenemos un billete de $500 pesos y deseamos saber cuánto es el 30% de ese valor.

NO LO HAGAN 😁, pero supongamos que cortamos a ese billete en cien partes iguales e imaginemos que esos pedazos de billetes tienen aún valor ¿Cuánto valdrían cada uno de ellos? La división entre 500 con 100 resuelve esa pregunta y nos da 500:100=5

Es decir que cada uno de esos pedazos de billetes valdría $5

¿Qué porcentaje del billete entero es uno de esos pedazos de billete? La respuesta es el uno por ciento (1%) porque es uno de las cien partes iguales en que se lo dividió.

¿Entonces cuando será el 30%? Sumemos treinta de esos pedazos de billetes que valen $5 cada uno, pero mejor aún, en veces de sumar algo varias veces por sí mismo multipliquemos ese algo ($5) por treinta y nos da $5 x 30 = $150

Se suele usar directamente (de memoria) esta forma: $8000 x 30: 100 = $150 (al valor original 8000 se lo multiplica por el porcentaje pedido (30) y a eso se lo divide por cien (100).

En definitiva, $150 es el 30% de $500.

 

Descuento

Se ha comprado un celular que cuesta $8000 pero si se lo paga al contado se obtiene un descuento del 12% ¿Cuánto se deberá pagar luego del descuento?

Hay tres formas de hacer el cálculo:

A)  Calculamos el 12% de $8000 y luego se lo restamos al valor original ($8000)

$8000 x 12: 100 = $960

Ahora restemos ese valor al valor original: $ $8000 - $960 = $7040

Es decir que debemos pagar solo $7040 por el celular.

B) Usando regla de tres simple, así (recuerden que pagaremos 12% menos, es decir 100% - 12% = 88%)

Si el 100% del valor es -------------- $8000

Entonces el 88% es ---------------- X= 88% x $8000:100% = $7040

C) Esta forma es más directa.

Se multiplica al valor $8000 por (1-0,12)= 0,88 (el 1 representa el valor original 0,12 representa el porcentaje, en este caso del descuento)

Resultado: $8000 x 0,88 = $7040

Recargo

Si obtenemos un préstamo en un banco o financiera por $140000 y nos cobran un interés del 36% ¿Cuánto debemos devolver?

A) $140000 x 36: 100 = $50400

Entonces se lo sumamos al varo original: $140000 + $50400= $190400

B) Recuerden que pagamos 36% más de lo que nos prestaron, es decir que pagamos 100%+36$= 136%

Si el 100% del préstamo es ------------------ $140000

Entonces el 136% es -------------------- X = 136$ x $140000: 100% = $190400

C) $140000 x 1,36 = $190400

Nota: el 1,36 surge de suma a 1 el porcentaje (1+0,36=1,36)

Vídeo Porcentaje (Descuento y Recargo)

Saludos.