Mínimo Común Múltiplo y Maximo Comun Divisor

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Para  el M.C.M y el M.C.D. debemos factorizar los números, es decir transformar los números en producto de números primos y para ellos debemos saber :
Las reglas de divisibilidad (por lo menos del 2, 3 y 5)
• Un numero es divisible por dos (2) cuando termina en cero o cifra par. (2, 4, 6, 8 etc.)
• Un numero es es divisible por tres (3) cuando la suma de sus cifras, es múltiplo de 3.
• Un numero es divisible por cinco (5) cuando termina en cero o 5.

Definiciones del M.C.M  y  M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo o Múltiplo Común Menor  (M.C.M) :
Factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.
 Máximo Común Divisor o Divisor Común Mayor  (M.C.D.) :
Factores primos, comunes, con su menor exponente.

Analicemos algunas de las palabras utilizadas en las definiciones.
• Factores : Significa que en las definiciones, los números se estarán multiplicando.
• Primos : Un numero es primo si SOLAMENTE es divisible por si mismo y por la unidad.
Nota  1  : Hoy en día al uno no se lo toma como primo, pero a los efectos de este  y muchos otros temas, lo podemos tomar así sin ningún problema.
Ejemplo : El  5 es primo, porque solamente es divisible por 5 y por 1. En cambio el 4 no es primo, porque ademas de ser divisible por si mismo y por la unidad, también es divisible por 2.
Nota 2  : Cuando se habla de " divisible " no significa que se pueden dividir dos números (ya que siempre es posible) si no que dicha división es exacta (cociente entero y resto cero).
• Comunes  : Que el numero (primo) esté en todos los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• No comunes :  Que el numero (primo)  no esté en todos los  números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• Con su mayor exponente :  Cantidad mayor de veces que está un numero primo en algunos de los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• Con su menor exponente :  Cantidad menor de veces que está un numero primo en algunos de los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D.

 Recomendación :  Al factorizar un numero, hagámoslo comenzando con el  numero primo 2  (de ser posible) y sigamos con el hasta que no se pueda mas, luego pasemos al 3 (de ser posible) y  segamos con el hasta que ya no sea divisible por 3, etc. De esa manera los números primos nos quedarán ordenados de menor a mayor y será mas fácil contar cuantas veces se repiten.

Ejemplo :  Al factorizar el 300 comenzamos viendo si es divisible por 2 y si lo es, luego el cociente entre 300 y 2 es 150, ahora vemos si el 150 es divisible por 2 nuevamente (aunque también es divisible por 3 y por 5) y si lo es, la división entre 150 y 2 da 75. Como 75 ya no es nuevamente divisible por 2, pasamos a ver si es divisible por 3 y si lo es y la división de 75 por 3 da 25, intentamos seguir con el 3, pero el 25 no es divisible por 3 si no que lo es por 5 y su cociente da 5 y este ultimo (5) es divisible por 5.
Entonces el 300 queda factorizado así : 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 =  2 ² . 3 . 5 ²

Ahora un ejemplo completo : Calculemos el M.C.M. y el M.C.D. de entre los números 30 ; 45  y  80
El 30 queda factorizado así :  30 = 2 . 3 . 5
El 45 queda factorizado así  : 45 = 3 . 3 . 5
El 80 queda factorizado así  : 80 = 2 . 2 . 2 . 2 .5 = 2^4 . 5
Según la definición dada del M.C.M. el numero primo común (o sea que esta en el factoreo de todos los números) es el 5.  Este numero está una vez en cada uno de los factoreos, por lo tanto la mayor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es  1 y a esa potencia será elevado para hallar el M.C.M. En cuanto a los factores primos no comunes ( o sea que NO está en todos los factoreos) es el 2, y como la mayor cantidad de veces que esta en uno de los factoreos es 4  (en el 80), la potencia a la que será elevado en el resultado, es 4. Y el numero 3 que también es no común, pero la mayor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es 2..
Por lo tanto el M.C.M. es  =  5 ¹ . 2^4. 3 ² = 5 . 16 . 9 = 720
Según la definición del M.C.D. el factor primo común es el 5 y la menor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es una vez (por mas que coincida, en este caso, con la mayor cantidad de veces).
Por lo tanto el M.C.D. es  =  5 ¹ =  5
Aquí una imagen que muestra como se realiza normalmente este procedimiento :

Problema

Un grupo de trabajadores esta colocando postes para cables de luz y para cables de teléfono. Los postes de luz van colocados cada 60 metros y los de teléfono cada 80 m. En un momento colocaron ambos postes en el mismo lugar. ¿Cuantos metros mas adelante volverían a colocar un poste de luz y otro de teléfono en el mismo lugar?

¿Con que lo vamos a resolver?

Con el M.C.M. porque las magnitudes, en este caso distancias, se repiten en el espacio, una cada 60 m y la otra cada 80 m. Es decir que averiguaremos los múltiplos de ambos números y de los múltiples comunes (o sea que aparecen en los dos) tomaremos el menor de ellos. Si bien podríamos factorizar los números como lo hicimos en la primera pagina, lo haremos de otra forma mas didáctica, pero ustedes háganlo como gusten.

Los Múltiplos de 60 hijo: 60, 120, 180, 240 , 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, ..... Los Múltiplos de 80 hijo: 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, ..........

De estos múltiplos, los Comunes son infinitos, pero algunos de ellos son el 720, el 480, etc y de ellos, el menor es 240. Por lo Tanto, volverán a colocar un poste de luz y de teléfono, por primera vez a los 240 metros.

Veamos otro Problema: Se tienen 40 botellas de gaseosa y 56 botellas de jugo y se los quiere colocar en estantes, de tal manera que entren la mayor cantidad de botellas de ambos tipos por estante, sin que falten ni sobren ninguna botella.
¿Cuantos estantes se utilizarán y cuantas botellas de cada tipo entrarán por estante?
Para esto debemos Sacar el M.C.D. (Máximo Común Divisor):
Los divisores de 40 son : 1, 2, 4, 8, 10, 20 y 40.
Los divisores de 56 son : 1, 2, 4, 8, 14, 28 y 56.
Los divisores comunes son el 1, 2, y 8. Pero el mayor de ellos es el 8. Por lo tanto el M.C.D. es el 8. Esto significa que la cantidad de estantes es 8.
Para saber cuantas botellas de cada tipo irán por estante, dividimos la cantidad de botellas que tenemos por el numero de estantes, así:
40 bot. / 8 estantes = 5 botellas de gaseosa por estante.
56 bot. / 8 estantes = 7 botellas de jugo por estante.

Pueden ver mas sobre el tema en mi canal :

Saludos.