Teorema de Gauss

Una función polifónica puede ser expresada como una serie de monomios, que al estar estos monomios, sumando o restando entre si, se llaman términos. Pero también pueden ser expresadas como una serie de factores de la forma “ x – xi “ en donde “ xi “ son las raíces del polinomio.

Recordemos que una raíz es el valor de la variable “ x “ para la cual  el valor de “ y “ que le corresponde es cero. Esa es una de las propiedades de las raíces, pero no es la única. Otra propiedad es que si dividimos al polinomio dado por un binomio de la forma “ x – xi “ dicha división es exacta (resto cero).

Tengan en cuenta que, el objetivo en el Teorema de Gauss, es encontrar las raíces reales de un polinomio, para luego dejarlo expresado, a dicho polinomio, como una serie de productos de binomios de la forma  :

                                           a . (x-x1) .(x-x2)…..(x-xn)

Donde “a” es el coeficiente principal del polinomio (recordemos que el coeficiente principal es el coeficiente del termino de mayor grado) y n es el numero de raíces reales.

Y si bien aclaro que buscaremos las raíces reales, que es como se lo piden en el secundario, esto se podría extender a todas las raíces, incluso las complejas conjugadas, en caso de tenerlas, pero no veremos estos casos.

Veamos un ejemplo :

Sea el polinomio P(x) = 2x³ – 6x ²-26x + 30  Este es un polinomio de grado 3 con coeficiente principal "2" y termino independiente "30"

Para hallar las posibles raíces, debemos dividir a los divisores del termino independiente, por todos y cada uno de los divisores del coeficiente principal.

Los divisores de 30 son : 30, -3'0, 15, -15, 10, -10,  6, -6, 5, -5 , 3, -3, 2, -2, 1, -1

Los divisores de 2 son : 2, -2, 1, -1

Los cocientes entre cada divisor de 30 con todos y cada uno de los divisores de 2 son :

30/2 , 30/(-2) , 30/1 , 30/(-1) , -30/2 , -30/(-2) , -30/1 , -30/(-1) , 15/2 , 15/(-2) ,  15/1 , 15/(-1) ,  -15/2 , -15/(-2) , -15/1 , -15/(-1) , 10/2 , 10/(-2) , 10/1 , 10/(-1) , -10/2 , -10/(-2) , -10/1, -10/(-1),  6/2 , 6/(-2) , 6/1 , 6/(-1) , -6/2 , -6/(-2) , -6/1 , -6/(-1) , 5/2 , 5/(-2) , 5/1 , 5/(-1) , -5/2 , -5/(-2) , -5/1 , -5/(-1) , 3/2 , 3/(-2) , 3/1 , 3/(-1) , -3/2 , -3/(-2) , -3/1 , -3/(-1) , 2/2 , 2/(-2) , 2/1 , 2/(-1) , -2/2 , -2/(-2) , -2/1 , -2/(-1) , 1/2 , 1/(-2) , 1/1 , 1/(-1) , -1/2 , -1/(-1) , -1/1 , -1/(-1).

Puff  es bravo ¿no? pero estas son las posibles raíces de infinitos valores probables, y ademas hay valores que se repiten, por ejemplo 30/2  con -30/(-2) , -30/(-1) con 30/1 , 15/1 con -15/(-1) , -1/(-1) con 1/1 y así..De esa manera se reducen bastante las posibles raíces. Luego si se agrupar los valores que se repiten, nos quedan :

15, -15 , 15/2 , -15/2 , 10 , -10 , -6 ,  -6 , 5 , -5 ,  3 , -3 , 5/2 , -5/2 , 2 , -2 , 3(2 , -3/2 , 1, -1 , 1/2 , -1/2.

O sea que de 64 valores, nos quedan en definitiva  22 valores posibles en donde están las raíces reales del polinomio dado.

¿Y como sabemos cuales de estos 22 valores son raíces del polinomio?

Para averiguarlo, utilizaríamos la propiedad que dice que una raíz hace cero al polinomio , por lo que deberemos ir valuando al polinomio por esos valores hallados, o sea reemplazamos a "x" por los valores. Comenzamos con el mas fácil de entre ellos, que es X =1

P(1) = 2.(1)³ - 6(1)² -26(1) + 30 

P(1) = 2.1 - 6.1 -26 +30 

P(1)  = 2 - 6 -26 +30  

P(1) = 0

Por suerte vemos que con el primer valor que probamos, hemos encontrado una de las raíces. Por lo que una de las raíces es 1

¿Y ahora que hacemos?..

Ahora dividimos al polinomio dado por el binomio " x -1"  que surge de X -(+1) = x-1, ya que la raíz era positiva. A la división conviene hacerla por Ruffini. Aquí un gráfico al respecto :

Vemos que el cociente de esta división da un polinomio de segundo grado  : 2x² - 4x -30  con resto cero. Por lo que hasta ahora podríamos expresar al polinomio original, como el producto del divisor (x-1) por el cociente de la división : (x-1) . (2x² - 4x -30 ) pero el segundo factor, puede que no sea primo, o sea que puede contener otras raíces reales, por ello lo vamos a averiguar, pero si no tuviera raíces reales, el resultado final seria ese y el ejercicio habría terminado

Para hallar las raíces de  2x² - 4x -30 podríamos utilizar la formula de Baskara  (también llamada resolvente o cuadrática), ya que es un polinomio de segundo grado, pero voy a seguir el procedimiento que venia haciendo., o sea dividir los divisores del termino independiente, por todos y cada uno de los divisores del coeficiente principal, como ya esta hecho, las posibles raíces son :

15, -15 , 15/2 , -15/2 , 10 , -10 , -6 ,  -6 , 5 , -5 ,  3 , -3 , 5/2 , -5/2 , 2 , -2 , 3(2 , -3/2 , 1, -1

Ya hemos utilizado el valor 1, sin embargo, las raíces pueden ser dobles, triples, etc. por lo que volvemos a reemplazar por uno, por si este sea el caso :

2.(1)² -4(1) -30 = 2  - 4 - 30 = -32 como no da cero, el valor uno (1) no es raíz de este polinomio. Probemos con X = -1

2 (-1)² -4.(-1) - 30 =  2 + 4 -30 = 24 tampoco da cero, por lo que probamos con otro valor, el X = 2

2(2)² - 4(2) - 30 = 8 -12 -30 = -34 Tampoco da cero, probemos con X= -2

2(-2)² - 4(-2) - 30 = 8 + 8  -30 = - 14 Tampoco, probemos con X = 3

2.(3)² -4,(3) - 30 = 18 -12 -30 = -24 Tampoco, probemos con x = -3

2.(-3)² - 4.(-3) - 30 = 18 + 12 -30 = 0 ...  Vamos todavía, dio cero !!

Entonces, la segunda raíz es  3

Ahora dividimos al polinomio 2x² - 4x -30 por el binomio (x-3)

Vemos en la imagen que el cociente da  2x - 10  por lo que el polinomio 2x² - 4x -30 queda factorizado como el producto entre el cociente y el divisor así :

(x - 3) . (2x - 10) y si reemplazamos y el polinomio original queda :

(x - 1) . (x - 3) . (2x - 10) Si sacamos factor común un "2" de este ultimo binomio, nos queda  : (x -1).(x - 3) . 2. (x-5) = 2. (x - ) .(x-3) . (x-5)

Y así concluimos que el polinomio dado  2x³ – 6x ²-26x + 30   queda expresado en forma factorizada como   a (X -X1 ) . ( X -X2) . (X -X3 ) que para este ejemplo es :

2 . ( X -1 ) . ( X -3 ) . ( X - 5 )

Vídeo Teorema de Gauss

Saludos.

                    

Gráfico de un número irracional

Para graficar un numero irracional usaremos el teorema de Pitágoras.    

                                              ¿Como es eso?

Es así : El numero irracional a graficar, será la hipotenusa en un triangulo rectangular,  cuyos catetos debemos averiguar y, si estos son enteros, los vamos a graficar perpendiculares entre si, para luego formar la hipotenusa y llevarla a la recta numérica.

Veamos un ejemplo : Si quisiéramos graficar la raíz de 2, ésta será la hipotenusa, que llamaremos "H" en un triangulo rectangular, tal que elevada al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a los que llamaremos "A" y "B".

H ² =  A ²  +  B  ²

(raíz de 2 ) ²  = ( A ) ²  +  (B) ²

Pero no queremos graficar el cuadrado de la raíz de 2, si no la raíz de 2, por lo  que pasemos el cuadrado para el otro miembro y queda : raíz de 2 = raíz de [ ( ) ² + ( ) ² ] . He dejado vació los lugares en donde irían A y B, ya que estos son los catetos a averiguar. Ahora debemos hacernos una pregunta : ¿Cuál es el número menor, pero más cercano a dos,y que tienga raíz cuadrada exacta? La respuesta es el 1, por lo que adentro del primer paréntesis debemos poner la raíz de este, que también es el 1. Ahora nos preguntamos: ¿Cuanto nos falta para llegar al 2? La respuesta es otra vez el 1 y la raíz cuadrada de este va en el otro paréntesis. Por lo que, los catetos que deberíamos graficar, son A=1 y B=1. Si graficamos uno en la recta numérica y el otro perpendicular a este, habremos encontrado la hipotenusa (raíz de 2), que luego, con el compás, llevaremos a la recta numérica. En el siguiente ejemplo, incluiré un gráfico animado (Gif) que aclare el procedimiento:

Debemos graficar la raíz de 3

raíz de 3 =raíz de  [ (   ) ²  +  (   ) ² ]

Nos preguntamos ¿ Cual es el numero, menos a tres pero mas cercano a este, que tiene raíz cuadrada exacta? La respuesta es 1, cuya raíz pondremos dentro del primer paréntesis. Y ahora nos preguntamos ¿Cuanto le falta al uno para llegar al tres? Y como la respuesta es 2, adentro del segundo paréntesis ponemos la raíz de 2 . Pero alto ! el segundo cateto es un numero irracional (raíz de 2) por lo que deberíamos primero graficar este numero irracional siguiendo el procedimiento detallado mas arriba y luego de llevarlo a la recta numérica y perpendicular a el, graficar el otro cateto 1 Uniendo el cero con el extremo de este ultimo cateto (raíz de 2), tenemos la raíz de 3, que luego llevamos a la recta numérica con el copas. 

Veamos ahora como graficar la raíz cuadrada de 5

Planteamos :  raíz de 5 = raíz de [ (     )² + (    )² ] y nos preguntamos ¿ Cual es el numero, menor que 5 y mas cercano a el, que tiene raíz cuadrada exacta ? y la respuesta es 4, luego la raíz de 4 la ponemos dentro del primer paréntesis, ya que es uno de los dos catetos a graficar. La siguiente pregunta que debemos hacernos es ¿ Cuanto le falta al 4 para llegar a cinco ? y la respuesta es 1, luego a la raíz cuadrada de uno la ponemos dentro del segundo paracentesis, y es el segundo cateto a graficar.

Raíz de 5 = raíz de [ ( 2 )² +  ( 1 )² ]. Ahora vemos como es el procedimiento, en un dibujo animado, para graficar estos catetos y la hipotenusa, que es lo pedido :

Veamos el ejemplo de la  raíz de 7  : 

Para esto, empezamos con plantear que la Raíz de 7 = [ (  )²  +  (  )² ] y hacernos la primera pregunta : ¿ Cual es el numero, menor a 7 y mas cercano a el, que tiene raíz cuadrada exacta ?  cuya respuesta es 4, luego la raíz de cuatro va dentro del primer paréntesis que es uno de los catetos a graficar. Luego nos preguntamos ¿ Cuanto le falta al 4 para llegar al 7 ? y la respuesta es 3, luego la raíz de 3 va dentro del segundo paréntesis, pero no es un cateto a graficar, ya que no es un numero racional. Por lo tanto debemos graficar a la raíz de 3 con el mismo procedimiento, ya que es un numero irracional, es decir que planteamos : Raíz de 3 = [ (  )² +  (  )² ] y haciendo las preguntas correspondientes no quedan que los catetos a graficar son el 1 (uno) y la raíz de 2, pero nuevamente uno de los catetos (raíz de 2) no es un numero racional, por lo cual, previamente, debemos calcular los catetos para graficar la raíz de 2, que son, como ya hemos visto en la pagina anterior, ambos 1 (uno). Viendo esto, queda así :

Identidades Trigonométricas

Durante muchos años mis alumnos me preguntaban si había conceptos generales para poder resolver las identidades trigonométricas y luego de mucho pensar, llegué a la conclusión de que si las había. Estas son :

1-   Todo lo que no sea seno o coseno, llevarlo a seno o seno.  Ejemplo :

Si tienen una tangente, la ponen con seno / coseno. Si aparece una secante la ponen como 1 / coseno y así.

2-   Las suman o restas, multiplicación o división, hay que resolverlas. Ejemplo :

Si tienen 1 + tang²(a)  y teniendo en cuenta que el 1 es una fracción 1/1  y que tang²(a) es seno² (a) / cos² (a), vamos a sumar estas  dos fracciones.. Sacamos denominador común entre el 1 y el cos²(a) que es cos²(a). Luego dividimos el denominador común con cada uno de los denominadores y al resultado lo multiplicamos por los numeradores respectivos, dando como resultado :

1         sen²(a)            cos²(a) + sen²(a)              1

----  + ---------    =   -------------------------  =  --------------

1        cos²(a)              cos²(a)                     cos²(a)

3-  Por ultimo debemos recordar estas relaciones trigonométricas :

Tangente = senoß / cosenoß  ;  cotangenteß = coseno ß/seno ß 

 secanteß = 1 / cosenoß  ; cosecante ß= 1 / senoß 

 seno² ß+ coseno²ß = 1

NOTA : No es necesario que se trabaje con ambos miembros, a veces con trabajar con uno de ellos es suficiente para llegar a la igualdad.

Veamos ahora un ejercicio :

Debemos verificar si la siguiente igualdad trigonométrica se cumple :

1 + tag²(x) = sec²(x)

Aplicamos el concepto “ 1 “ en el primer miembro y luego resolvemos la suma de  estas  dos fracciones. Como ya lo he resuelto mas arriba,  el primer miembro queda igual a 1 / cos²(x) y esto es igual a sec(x)²  por lo cual se cumple que el primer miembro es igual al segundo miembro y queda verificada la igualdad.

Veamos otro  ejemplo :

1 + tag(x)

------------------ =  tag(x)         

 1 + cotag(x)      

                                   

Transformamos la tang(x) por sen(x) / cos(x)  y a cotag(x) por cos(x) / sen(x), quedando :

1 +  sen(x) / cos(x)

--------------------------  =  tag (x)       

1 +  cos(x) / sen(x)                     

 Sacando denominador común en el numerador el cos(x) y en el denominador el sen(x)

y  dividiendo estos denominadores comunes  por cada denominador  y  luego al resultado multiplicarlo por su numerador, queda :

cos(x) + sen(x)

----------------------

cos(x)

               ------------------------   =  tag (x)

sen(x) + cos(x)

-------------------

Sen(x)

Recuerden que en el cociente de dos fracciones de la forma

  A

-----

  B           

-------         

  C           

-----

  D

se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se obtiene multiplicando los extremos A y D dividido el producto de los medios B y C.

Por lo que simplificamos los “cos(x) + sen(x) “ quedando :

       1

  ---------

  cos(x)

-------------- = tag (x)       

      1                                         

-----------                                 

  sen(x)                                    

                                                 

En este punto multiplicamos los extremo  1 y sen(x) que va en el numerador del resultado y el producto de los medios  que va a ir en el denominador del  resultado. Verificando la igualdad

 sen(x)

---------- =  tag(x)   =>  tag(x) = tag(x)

cos(x)

Vídeos :

Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas_Parte 2

Saludos.

Gráfico de puntos en ejes cartesianos

Este tema es fundamental para, entre otras cosas, graficar funciones.

Parece simple, pero por experiencia con mis alumnos, cuesta al comienzo, Acá vamos.

Para graficar puntos en un par de ejes cartesianos (en este caso, ortogonales o a 90°) debemos comprender que cada punto se compone o forma con dos valores (coordenadas), uno de ellos llamado la coordenada“X” o abscisa, mientas que el otro se llama coordenada “Y” u ordenada.

Estos dos valores que forman el punto, también son llamados par ordenado, porque son dos y están ordenados de tal manera que siempre primero está la abscisa y luego la ordenada, separados por un punto y coma y entre paréntesis, así ( X ; Y )

Los ejes coordenados, donde se graficarán los puntos, son dos líneas perpendiculares,que al cortarse forman cuatro semirrectas ( semiejes ) dos positivos (a la derecha y arriba) y dos negativos (a la izquierda y abajo)

Y ahora vamos a graficar unos puntos.

El punto ( 2 ; 3 )

Localizamos el valor “2”en el semieje positivo de las abscisas y por allí trazamos una recta vertical. Luego localizamos el valor “3”sobre el semieje positivo de las ordenadas y por allí trazamos una recta horizontal. En donde ambas rectas se corta, habremos encontrado el punto.

El punto (- 3 ; -1 )

En el semieje negativo de las abscisas “X” localizamos el “- 3” y por allí trazamos una vertical. Por el semieje negativo de las ordenadas “Y” localizamos el “ – 1 “ y por allí trazamos una horizontal, donde ambas rectas se cortan tenemos el punto.

Por último el punto ( 0 ; - 4 )

Por el valor cero (origen de coordenadas) trazamos una vertical, aunque no hace falta ya que está sobre el eje “Y” y por el valor “ – 4“ en el semieje negativo de las ordenadas “Y” trazamos una horizontal, donde se cortan tenemos el punto.

Aquí el procedimiento en imágenes : 

Canal TonySabe

Saludos.