Logaritmos, concepto, propiedades, ejemplos.

El logaritmo es un exponente, al que debe ser elevado un numero llamado base, para obtener otro numero llamado argumento. Veamos esto en un ejemplo.

Sea el Log₂⁸ = 3  Aquí la base es dos (2), el argumento es ocho (8) y el logaritmos, es decir el numero que hay que elevar a la base dos para obtener el argumento ocho, es tres (3).

Mas ejemplos :

Log₃^1/9 = -2  Porque si elevamos el 3^-2 = (1/3)² = 1/9

Log_√2⁴= 2 Porque si elevamos la raíz cuadrada de 2 a la cuarta (√2)⁴, índice de la raíz (2) y potencia del radicando (4) se simplifican y queda 2²= 4

Log_3/5^5/3 = - 1 Porque si elevamos (3/5)^-1 se invierte la base y cambia de signo la potencia, quedando (5/3)¹ = 5/3

La incógnita no siempre debe ser el logaritmo, puede que la incógnita sea la base o el argumento. Veamos :

Log_(2x-3)²⁵= 2  Aquí la incógnita es la base. Para resolver ponemos todo en su lugar según la definición dada: (2x-3)² = 25 y despejamos 2x-3 = √25 => 2x = 5+3 => x = 8/2 => x =4, entonces la base es 5.

Log₄^(x-7) = 2 Aquí la incógnita es el argumento. Usando el concepto de logaritmo ponemos: 4² = x-7 y despejando nos queda => 16 + 7 =x por lo que x=23 y el argumento es 16.

Pero tambien la incógnita pueden ser la base y el argumento como veremos en ese ejemplo.

Log _x^(-2x+3)= 2  Para resolver usamos la definición colocando la base (x) elevada al exponente (2) e igualando al argumento (-2x+3) Así :

X² = -2x+3 igualamos todo a cero quedando x²+2x-3 = 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado con la formula de Baskara, donde a = 1 ; b = 2 y c = -3

Resolviendo encontramos los dos valores de x que son x₁=1 y x₂= -3

Por lo tanto la base puede ser uno (1) y en ese cse el argumento es tambien uno (1) o la base es menos tres (-3) y en ese caso el argumento es nueve (9).

Propiedades de los logaritmos

1)  Log_a^(b.c) = Log_a^b + Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un producto es igual a la suma entre los logaritmos de los factores.}

2)  Log_a^(b/c) = Log_a^b - Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un cociente, es igual a la diferencia entre los logaritmos del numerador y el denominador (en ese orden).}

³⁾  Log_a b^c= c . Log_a^b

^{Es decir que el logaritmo de una potencia, es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la base de esa potencia.}

^{Otras propiedades :}

Log_a^a = 1       Osea que independiente de la base, si el argumento es la misma base, el logaritmo es siempre uno (1)

Log_a¹ = 0  Osea que para cualquier base (excepto cero), si el argumento es 1 el logaritmo es cero (0).

Nota : Recuerden que una raíz es en realidad una potencia fraccionaria, es decir que la propiedad tres (3) se puede usar tambien para raíces.

Videos :  

Función Logarítmica : 

Logaritmos concepto, ejemplos, propiedades.

Cuadrado y Cubo de un Binomio

Cuadrado y Cubo de un Binomio

Formula del Cuadrado de un Binomio

(a + b)² = (a)² + 2. (a). (b) + (b)²

^{En forma coloquial :}

^{El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble producto del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino.}

Ejemplos de Cuadrados de un Binomio :

(4x + 5)² = (4x) ² + 2. (4x). (5) + (5) ²

                     = (4) ² (x) ² + 40 x + 25

                     = 16 x² + 40 x + 25

(-6x³ + 2y²)2 = (-6x³)²+ 2. (-6x³). (2y²) + (2y²)²

                     = 36x^{6 –} 24x³.y² + 4y⁴

(2/3x – 5/2y⁴)² = (2/3x)² + 2. (2/3x). (-5/2y⁴) + (-5/2y⁴)²

                                =  4/9x² + 10/3xy⁴ + 25/4y⁸

^{Formula del Cubo de un Binomio}

(a + b)³ = (a)³ + 3. (a)². (b) + 3. (a). (b)² + (b)³

^{En forma coloquial :}

^EL cubo de un binomio es igual al cubo del primer termino, mas el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo termino, mas el triple producto del primer termino por el cuadrado del segundo termino, mas el cubo del segundo termino.

Ejemplos de Cuadrados de un Binomio :

(7x²+ 2y³)³ = (7x²)³ +3 (7x²)² (2y³) +3 (7x²) (2y³)² +(2y³)³

                                   = 343x⁶ + 3. 49x⁴. 2y³ +3. 7x². 4y⁶ + 8. y⁹

 (3x - 2y⁵)³ = (3x²)³ + 3 (3x)² (-2y⁵) + 3 (3x) (-2y⁵)² + (-2y⁵)³

                       = 27.x⁶ + 3. 9x² (-2y⁵) + 9x. 4y¹⁰ + (-8).y¹⁵

                   = 27x⁶ - 54x²y⁵ + 36xy¹⁰ – 8y¹⁵

^{Video :}

Reglas o Criterios de divisibilidad

Reglas o Criterios de Divisibilidad 

Nota : Divisible significa que la división sea exacta (cociente entero y resto cero)

Un numero es divisible por :

2 (dos) cuando termina en cifra para o cero.

Ejemplos :

34 ; 58 ; 42 ; 70 etc.

3 (tres) cuando la suma de sus cifras da múltiplo de tres.

Ejemplo :

111 => 1+1+1 = 3 

24 => 2+4 = 6

78 => 7+8 = 15

4 (cuatro) cuando el numero formado por sus dos ultimas cifras es divisible por 4.

Ejemplos : 1024 porque 24 es divisible por 4.

1836 porque 26 es divisible por 4.

5 (cinco) cuando termina en cero o cinco. 

Ejemplos : 60 ; 25 ; 135 etc.

6 (seis) cuando es divisible por 2 y 3 al mismo tiempo.

Ejemplos : 42 porque termina en cifra par y la suma entre 4 y 2 da múltiplo de 3.

588 porque termina en cifra par y la suma entre 5+8+8 =21 (múltiplo de 3)

150 porque termina en cero y la suma de sus cifras da 6.

7 (siete) cuando la diferencia entre el numero sin la cifra de la unidad y el doble de la cifra de la unidad da múltiplo de siete.

Ejemplos : 1778 => 177 - 2x8 = 177 - 16 = 161. 161 es múltiplo de 7 (161/7 = 23)

11564 => 1156 - 2x4 = 1156 - 8 = 1148. Y  1148 es múltiplo de 7 (1148/7 = 164)

8 (ocho) cuando el numero formado por sus ultimas tres (3) cifras es divisible por 8.

Ejemplo : 3616 porque 616 : 8 = 77

9728 porque 728 : 8 = 91

9 Un numero es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras en nueve o múltiplo de nueve.

10 (diez) cuando termina en cero (0)

11 (once) cuando la suma de las cifras que ocupan la posición par menos la suma de las cifras que ocupan la posición impar es igual a cero o un numero múltiplo

 de once (11).

Ejemplos :

5016 => (0+1) - (5+1) = 0

6182 => (1+2) - (6+8) = 3 -14 = -11

2827 => (8+7) - (2+2) = 15 - 4 = 11

12 (doce) cuando el numero es divisible por 3 y por 4 al mismo tiempo.

Ejemplos :

936 => porque 36 es divisible por 4 y la suma entre 9+3+6 =18 (múltiplo de 3)

8268 porque 68 es divisible por 4 y la suma entre 8+2+6+8 = 24 (múltiplo de 3).

Pasaje de decimal a fracción

Pasaje de decimal a fracción 

Hay dos tipos de decimales, los exactos y los periódicos, ademas los periódicos se subdividen en puros y mixtos.

Decimales Exactos

Son aquellos en donde la parte decimal termina en algún momento.

Ejemplo : 1,5 ; 0,002 ; 31,55 etc.

¿Como los pasamos a fracción?

Rta : Ponemos todo el numero sin la coma y lo dividimos por un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el numero.

Ejemplos : 

1,5 = 15/10 y simplificado queda 3/2

0,002 = 2/1000 que simplificado queda 1/500

31,55 = 3155/100 = 631/20

Decimales Periódicos

Son aquellos en donde la parte decimal nunca termina, es decir que siguen hasta el infinto.

Puros : Son aquellos en donde toda la parte decimal se repite.

Ejemplos : 1,55555... ; 0,373737.... ; 2,018018....

¿Como se pasan a fracción?

Rta : Se pone todo el numero sin la coma y se le resta la parte entera. Luego a esa resta se la divide por tantos nueves (9) como cifras decimales se repiten.

Procedimiento :

1,5555... = (15-1)/9 = 14/9

0,373737... = 37/99

2,018018... = (2018 - 2)/999 = 2016/999 que simplificado por tres (dos veces) queda: 672/333 = 224/111

Mixtos : Son aquellos en donde la parte decimal contiene primero números o cifras que no se repiten y luego números o cifras que se repiten.

Ejemplos : 2,714444... (el 71 son las cifras no periódicas y el 4 la cifra periódica) 

0,83333...  (el 8 es la cifra no periódica y el 3 la periódica)

1,25818181... (el 25 son son las cifras no periódicas y el 81 las periódicas)

¿Como se pasan a fracción?

Rta : Se pone todo el numero sin la coma y se le resta todo en numero sin las cifras periódicas. Luego a esa resta se la divide por tantos nueves (9) como cifras periódicas tenga el numero, seguido de tantos ceros como cifras no periódicas tenga.

Procedimiento :

2,714444... = (2714 - 271)/900 = 2443/900

0,83333... = (83 - 8)/90 =75/90 = 15/18 = 5/6

1,258181... = (12581 - 125)/9900 = 12456/9900 = 6228/4950 = 3114/2475 = 1038/825 = 346/275

Video :