Logaritmos, concepto, propiedades, ejemplos.

El logaritmo es un exponente, al que debe ser elevado un numero llamado base, para obtener otro numero llamado argumento. Veamos esto en un ejemplo.

Sea el Log₂⁸ = 3  Aquí la base es dos (2), el argumento es ocho (8) y el logaritmos, es decir el numero que hay que elevar a la base dos para obtener el argumento ocho, es tres (3).

Mas ejemplos :

Log₃^1/9 = -2  Porque si elevamos el 3^-2 = (1/3)² = 1/9

Log_√2⁴= 2 Porque si elevamos la raíz cuadrada de 2 a la cuarta (√2)⁴, índice de la raíz (2) y potencia del radicando (4) se simplifican y queda 2²= 4

Log_3/5^5/3 = - 1 Porque si elevamos (3/5)^-1 se invierte la base y cambia de signo la potencia, quedando (5/3)¹ = 5/3

La incógnita no siempre debe ser el logaritmo, puede que la incógnita sea la base o el argumento. Veamos :

Log_(2x-3)²⁵= 2  Aquí la incógnita es la base. Para resolver ponemos todo en su lugar según la definición dada: (2x-3)² = 25 y despejamos 2x-3 = √25 => 2x = 5+3 => x = 8/2 => x =4, entonces la base es 5.

Log₄^(x-7) = 2 Aquí la incógnita es el argumento. Usando el concepto de logaritmo ponemos: 4² = x-7 y despejando nos queda => 16 + 7 =x por lo que x=23 y el argumento es 16.

Pero tambien la incógnita pueden ser la base y el argumento como veremos en ese ejemplo.

Log _x^(-2x+3)= 2  Para resolver usamos la definición colocando la base (x) elevada al exponente (2) e igualando al argumento (-2x+3) Así :

X² = -2x+3 igualamos todo a cero quedando x²+2x-3 = 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado con la formula de Baskara, donde a = 1 ; b = 2 y c = -3

Resolviendo encontramos los dos valores de x que son x₁=1 y x₂= -3

Por lo tanto la base puede ser uno (1) y en ese cse el argumento es tambien uno (1) o la base es menos tres (-3) y en ese caso el argumento es nueve (9).

Propiedades de los logaritmos

1)  Log_a^(b.c) = Log_a^b + Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un producto es igual a la suma entre los logaritmos de los factores.}

2)  Log_a^(b/c) = Log_a^b - Log_a^c

^{Es decir que el logaritmo de un cociente, es igual a la diferencia entre los logaritmos del numerador y el denominador (en ese orden).}

³⁾  Log_a b^c= c . Log_a^b

^{Es decir que el logaritmo de una potencia, es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la base de esa potencia.}

^{Otras propiedades :}

Log_a^a = 1       Osea que independiente de la base, si el argumento es la misma base, el logaritmo es siempre uno (1)

Log_a¹ = 0  Osea que para cualquier base (excepto cero), si el argumento es 1 el logaritmo es cero (0).

Nota : Recuerden que una raíz es en realidad una potencia fraccionaria, es decir que la propiedad tres (3) se puede usar tambien para raíces.

Videos :  

Función Logarítmica : 

Logaritmos concepto, ejemplos, propiedades.