Teorema del Resto

El teorema del resto nos permite conocer el resto de una división entre dos polinomio, con la condición que el polinomio divisor sea de la forma X _-⁺ a es decir que sea un binomio con coeficiente uno (1) de equis (x) y potencia uno, mas o menos un numero real (a).

Al polinomio dividendo lo llamaremos P(x) y al polinomio divisor Q(x).

Veamos un ejemplo :

Sea P(x) = X⁴ + 3x² – 2x³ +4 En este caso P(x) está completo pero no está ordenado, sin embargo para el teorema del resto no es necesario que esté ni completo ni ordenado.

El polinomio Q(x) = x+ 3

Para hallar el resto entre P(x) : Q(x) reemplazamos en P(x) el valor de "a" de Q(x) pero cambiado de signo.

Así :  (-3)⁴ + 3 (-3)² – 2 (-3)³ + 4 Separamos en termino y resolvemos.

81 + 3. 9 - 2 (-27) +4 

81 + 27 + 54 + 4 = 166 El resto entre P(x) : Q(x) es 166

Veamos otro tipo de ejercicio :

Decir si P(x) = x³ - 9x² + 27x -27 es divisible por Q(x) = x - 3

Valuamos al polinomio P(x) con 3 es decir calculamos P(3).

P(3) =  (3)³ – 9. (3)² + 27 (3) -27

            27 – 9. 9 + 81 – 27

            27 – 81 + 81 - 27 = 0 
Como el resto dio cero (0) concluimos en que el polinomio P(x) SI es divisible por Q(x).  O dicho de otro modo, el polinomio Q(x) es múltiplo de P(x).

Otro ejercicio :

Sea el Polinomio T(x) = 2x³ – a.x + x²  y  sabemos que una raíz de P(x) es -2 entonces se nos pide calcular el valor de "a"

Debemos saber que si a un polinomio lo dividimos por un binomio de la forma (x – x₁) _donde x_{1 es una raíz del dividendo T(x) la división es exacta, es decir el resto es cero.}

_{Por lo tanto utilizando el teorema del resto, valuamos a T(x) en "-2" y lo igualamos a cero.}

_{Es decir} (-2)³ – a. (-2) + (-2)² = 0 y ahora despejamos "a" de la ecuación : 

- 8 - a . (-2) + 4 = 0

             - a. (-2) = 8 - 4

                    - a  = 4 : (-2)

                       ^{- a = - 2}

                         ^{a = - 2 : (-1)}

                         ^{a = 2}

^{Video :}

^Saludos.