Las mascotas te lo agradecerán. No a la pirotecnia.

Cuando eres niño no tienes la capacidad para entender lo que las mascotas sufren con la pirotecnia, pero ya de grande es indefendible que, con esa actitud infantil de, a cambio de unos minutos de diversión "estelar", hagas pasar por un tormento a nuestras fieles y queridas mascotas. El ser humano no toma dimensión o prefiere no saber de la capacidad aditiva de por ejemplo lo perros, pero imagina que un estadillo normal, lo escuches cien veces mas fuerte y no sepas a que se debe ¿como te sentirías?
Tienes la oportunidad de despedir este 2015 y recibir al nuevo año, sin mortificar a estos seres que nos brindan toda su amistad, lealtad y cariño a cambio de muy poco. Pero si por alguna misteriosa y tal vez enfermiza razón,  aun necesitar imperiosamente del divertimento de los estadillos pirotécnicos, debes saber que no estarás en condiciones morales de pedir justicia hacia ti y los tuyos cuando los otros te perjudiquen injustamente.
Toma conciencia de una buena vez y celebra las fiestas, respetando a los demás, como quisieras que te respeten a ti.
Si nuestras mascotas pudieran razonar como nosotros ¿Que crees que pensarían de estas personas o seres "inteligentes"?
Crees que eres una buena persona, pero no te das cuenta que si eres de los que maltrata a los animales con la pirotecnia, no lo eres, mas bien eres un mal nacido.

Saludos.

Pasaje de uniddes

Este tema es fundamental para la mayoría de los temas de física, en especial para Cinemática y Dinámica.

Comenzaremos por el pasaje de unidades para la magnitud llamada distancia, desplazamiento o posición, que si bien no son lo mismo, utilizan las mismas unidades.

Necesitaremos memorizar esta tabla de la unidad  metro “m” y sus sub-unidades :

 Km  hm  dam  m  dm  cm  mm

 El procedimiento será el siguiente:

Pensemos que la unidad metro y las sub-unidades son piedras sobre un rió. Pero no podemos pisar el rió (porque hay pirañas !!! jaja) y para pasar de una unidad a otra (de una piedra a otra) hay que contar LOS PASOS sobre las piedras (No cuenten las piedras, si no los pasos que hacen sobre ellas).. Entonces, corremos la coma del número que debemos pasar de una unidad a otra, tantos lugares como pasos hemos hecho sobre las piedras.

Veamos un ejemplo :

Queremos pasar 16,78 Km a dm.

Para ello nos paramos sobre la piedra “Km” y caminemos sobre las piedras, hasta la piedra “dm”, por lo que hemos hecho cuatro (4) pasos. Entonces, a partir de donde tengamos la coma (en este caso, entre el 6 y el 7) la corremos 4 lugares hacia la derecha, quedando: 167800,0 dm como vemos, hemos completado los lugares vacíos con ceros, incluso detrás de la coma, pero como ese cero no sirve ponerlo, lo sacamos, quedando en definitiva: 167800 dm. Aquí un imagen animada (Gif.) de este ejemplo:

Otros ejemplos (sin dibujo):

De 1200 cm a m

Aquí, si pasamos de la piedra “cm” a la piedra “m” debemos hacer dos pasos hacia la izquierda, por lo que a partir de donde esté la coma (al final en todo número entero), la corremos dos lugares hacia la izquierda quedando: 12,00 m pero estos dos ceros a la derecha de la coma, no sirven y por lo tanto no es necesario ponerlos, por lo que queda en definitiva : 12 m

De 0,034 Hm a mm

Al pararnos sobre la piedra “Hm” y para pasar a la piedra “mm” debemos hacer cinco (5) pasos, por lo que queda : 3400 mm

Este mismo procedimiento lo usamos para el pasaje de unidades de capacidad, teniendo en cuenta la siguiente tabla:

Kl  hl  dal  l  dl  cl  ml

Y para las medidas de la magnitud masa :

Kg  hg  dag  gr  dg  cg  mg

Lo único que cambió fue la terminación, pero el inicio es igual : K (kilo),  h (hecto), da (deca),  d (deci), c (centi),  m (mili). Completando con lo que corresponda, sea litro o gramo. 

Luego de saber como pasar de una unidad a otra de distancia (desplazamiento o medida de longitud) veremos el pasaje de las unidades de tiempo.

1 Hora = 60 Minuto

1 Minuto =  60 Segundos

1 Hora = 3600 Segundos

Utilizando estas equivalencias, podemos, usando regla de tres simple, pasar cualquier unidad de tiempo a otra.

Ejemplos:

Cuantos minutos son 2,5 horas ?

1 hora -------- 60 minutos

2,5 horas -------- X

X = (2,5 horas .  60 minutos) / 1 hora

X = 150 minutos.

Cuantos segundos tiene 0,4 horas ?

1 hora -------- 3600 segundos

0,4 horas ------ X

X = (0,4 hora . 3600 segundos)  / 1 hora

X = 1440 segundos.

Cuantas horas tienen 80 minutos ?

1 hora -------- 60 minutos

  X ----------- 80 minutos

X = (1 hora . 80 minutos) / 60 minutos

X = 1,33 horas.

Cuantos minutos tienen 40 segundos ?

1 minuto ------ 60 segundos

  X ------------- 40 segundos

X = (1 minutos . 40 segundos) / 60 segundos

X = 0,67 minutos.

¿Y si quisiéramos hacer el pasaje de unidades de una velocidad en Km/h a m/s? Hay una manera rápida y directa, que es dividir a la velocidad en Km/h por 3,6 y queda pasada a m/s. El porque es así :

Por ejemplo, pasar de 108 Km/s a m/s.  Sabemos que se recorren 108 Km en 1 hora, porque lo que lo 'ponemos así :

  108 Km

---------------   corremos la coma que esta detrás del 8 tres lugares hacia la                    1 h                                         derecha y reemplazamos 1 h por 3600 s :

108000 m

------------------  =   30 m/s            Da el mismo resultado si dividimos a 108 por 3,6.

    3600  hs

¿Y si fuera de  20 m/s a Km/h? Podríamos multiplicar a 20 por 3,6 y nos daría directamente en Km/h, pero si no hacemos :

  20 m               0,02 Km

----------  =   ------------------- =  72 Km/h

   1 s                   1 /300 h

Antes de seguir con  otros pasajes,, deben tener presente esto que ven en el gráfico :

! N = 1 Kg . 1 m/s² = 1000 gr . 100 cm/s = 100000 Dinas = 1. 10^5  D

 1 D = 1 gr . 1 cm/s

 Debido a que 1 u.t.m. es igual a 9,8 Kg, tenemos que 1 Kgf = 9,8 N, entonces : 1  Kgf = 9,8 . 100000 D = 980000 D

 1 Joule = 1 N . 1 m = 100000 D . 100 cm = 10^7 Ergios (Erg)

 1 Watt = 1 Joule / 1 s

 Tengamos en cuenta lo que significa algunas nomenclaturas y para eso pueden ver este otro gráfico :

También puede ser de mucha utilidad este cuadro de equivalencias :

Video en mi canal de YouTube :

Saludos.

Mínimo Común Múltiplo y Maximo Comun Divisor

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Para  el M.C.M y el M.C.D. debemos factorizar los números, es decir transformar los números en producto de números primos y para ellos debemos saber :
Las reglas de divisibilidad (por lo menos del 2, 3 y 5)
• Un numero es divisible por dos (2) cuando termina en cero o cifra par. (2, 4, 6, 8 etc.)
• Un numero es es divisible por tres (3) cuando la suma de sus cifras, es múltiplo de 3.
• Un numero es divisible por cinco (5) cuando termina en cero o 5.

Definiciones del M.C.M  y  M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo o Múltiplo Común Menor  (M.C.M) :
Factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.
 Máximo Común Divisor o Divisor Común Mayor  (M.C.D.) :
Factores primos, comunes, con su menor exponente.

Analicemos algunas de las palabras utilizadas en las definiciones.
• Factores : Significa que en las definiciones, los números se estarán multiplicando.
• Primos : Un numero es primo si SOLAMENTE es divisible por si mismo y por la unidad.
Nota  1  : Hoy en día al uno no se lo toma como primo, pero a los efectos de este  y muchos otros temas, lo podemos tomar así sin ningún problema.
Ejemplo : El  5 es primo, porque solamente es divisible por 5 y por 1. En cambio el 4 no es primo, porque ademas de ser divisible por si mismo y por la unidad, también es divisible por 2.
Nota 2  : Cuando se habla de " divisible " no significa que se pueden dividir dos números (ya que siempre es posible) si no que dicha división es exacta (cociente entero y resto cero).
• Comunes  : Que el numero (primo) esté en todos los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• No comunes :  Que el numero (primo)  no esté en todos los  números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• Con su mayor exponente :  Cantidad mayor de veces que está un numero primo en algunos de los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D
• Con su menor exponente :  Cantidad menor de veces que está un numero primo en algunos de los números en los que estoy obteniendo el M.C.M. o el M.C.D.

 Recomendación :  Al factorizar un numero, hagámoslo comenzando con el  numero primo 2  (de ser posible) y sigamos con el hasta que no se pueda mas, luego pasemos al 3 (de ser posible) y  segamos con el hasta que ya no sea divisible por 3, etc. De esa manera los números primos nos quedarán ordenados de menor a mayor y será mas fácil contar cuantas veces se repiten.

Ejemplo :  Al factorizar el 300 comenzamos viendo si es divisible por 2 y si lo es, luego el cociente entre 300 y 2 es 150, ahora vemos si el 150 es divisible por 2 nuevamente (aunque también es divisible por 3 y por 5) y si lo es, la división entre 150 y 2 da 75. Como 75 ya no es nuevamente divisible por 2, pasamos a ver si es divisible por 3 y si lo es y la división de 75 por 3 da 25, intentamos seguir con el 3, pero el 25 no es divisible por 3 si no que lo es por 5 y su cociente da 5 y este ultimo (5) es divisible por 5.
Entonces el 300 queda factorizado así : 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 =  2 ² . 3 . 5 ²

Ahora un ejemplo completo : Calculemos el M.C.M. y el M.C.D. de entre los números 30 ; 45  y  80
El 30 queda factorizado así :  30 = 2 . 3 . 5
El 45 queda factorizado así  : 45 = 3 . 3 . 5
El 80 queda factorizado así  : 80 = 2 . 2 . 2 . 2 .5 = 2^4 . 5
Según la definición dada del M.C.M. el numero primo común (o sea que esta en el factoreo de todos los números) es el 5.  Este numero está una vez en cada uno de los factoreos, por lo tanto la mayor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es  1 y a esa potencia será elevado para hallar el M.C.M. En cuanto a los factores primos no comunes ( o sea que NO está en todos los factoreos) es el 2, y como la mayor cantidad de veces que esta en uno de los factoreos es 4  (en el 80), la potencia a la que será elevado en el resultado, es 4. Y el numero 3 que también es no común, pero la mayor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es 2..
Por lo tanto el M.C.M. es  =  5 ¹ . 2^4. 3 ² = 5 . 16 . 9 = 720
Según la definición del M.C.D. el factor primo común es el 5 y la menor cantidad de veces que está en uno de los factoreos, es una vez (por mas que coincida, en este caso, con la mayor cantidad de veces).
Por lo tanto el M.C.D. es  =  5 ¹ =  5
Aquí una imagen que muestra como se realiza normalmente este procedimiento :

Problema

Un grupo de trabajadores esta colocando postes para cables de luz y para cables de teléfono. Los postes de luz van colocados cada 60 metros y los de teléfono cada 80 m. En un momento colocaron ambos postes en el mismo lugar. ¿Cuantos metros mas adelante volverían a colocar un poste de luz y otro de teléfono en el mismo lugar?

¿Con que lo vamos a resolver?

Con el M.C.M. porque las magnitudes, en este caso distancias, se repiten en el espacio, una cada 60 m y la otra cada 80 m. Es decir que averiguaremos los múltiplos de ambos números y de los múltiples comunes (o sea que aparecen en los dos) tomaremos el menor de ellos. Si bien podríamos factorizar los números como lo hicimos en la primera pagina, lo haremos de otra forma mas didáctica, pero ustedes háganlo como gusten.

Los Múltiplos de 60 hijo: 60, 120, 180, 240 , 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, ..... Los Múltiplos de 80 hijo: 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, ..........

De estos múltiplos, los Comunes son infinitos, pero algunos de ellos son el 720, el 480, etc y de ellos, el menor es 240. Por lo Tanto, volverán a colocar un poste de luz y de teléfono, por primera vez a los 240 metros.

Veamos otro Problema: Se tienen 40 botellas de gaseosa y 56 botellas de jugo y se los quiere colocar en estantes, de tal manera que entren la mayor cantidad de botellas de ambos tipos por estante, sin que falten ni sobren ninguna botella.
¿Cuantos estantes se utilizarán y cuantas botellas de cada tipo entrarán por estante?
Para esto debemos Sacar el M.C.D. (Máximo Común Divisor):
Los divisores de 40 son : 1, 2, 4, 8, 10, 20 y 40.
Los divisores de 56 son : 1, 2, 4, 8, 14, 28 y 56.
Los divisores comunes son el 1, 2, y 8. Pero el mayor de ellos es el 8. Por lo tanto el M.C.D. es el 8. Esto significa que la cantidad de estantes es 8.
Para saber cuantas botellas de cada tipo irán por estante, dividimos la cantidad de botellas que tenemos por el numero de estantes, así:
40 bot. / 8 estantes = 5 botellas de gaseosa por estante.
56 bot. / 8 estantes = 7 botellas de jugo por estante.

Pueden ver mas sobre el tema en mi canal :

Saludos.

El color es una ilusión.

Suelo pensar en la naturaleza de las cosas y como nuestro cerebro nos muestra el mundo que nos rodea.  En ese sentido, intentaré explicarles el porque, en lo referido al color, el cerebro nos miente o dicho de otra forma, el color es solo una ilusión..

Si pensamos en que un rayo de luz blanca es en realidad un conjunto de colores como el azul, rojo, verde, amarillo, etc. y que el rayo de luz y por lo tanto los distintos colores que se trasportan por el espacio son ondas, analicemos lo siguiente:

En física existe el fenómeno llamado reflexión de la luz, que consiste en la propiedad de las ondas de rebotar sobre un objeto, pero no todas las ondas rebotan en un objeto, algunas son absorbidas por el objeto.


En tal sentido, la luz blanca, al incidir (llegar) a un objeto, que por su pigmentación, solo refleja o rechaza la onda que transporta el color, por ejemplo azul, el objeto será de cualquier otro color menos azul(ya que lo rechaza), sin embargo nosotros lo vemos azul, porque esa es la onda de luz que al ser reflejada por el objeto, incide en nuestros ojos, por lo que tiene sentido pensar en que el color es solo una ilusión.

Es semejante a la existencia del frió, que no es nada mas, ni nada menos, que la ausencia del calor, en este caso, el color es la ausencia de mismo (en el objeto).

Saludos.

Teorema de Gauss

Una función polifónica puede ser expresada como una serie de monomios, que al estar estos monomios, sumando o restando entre si, se llaman términos. Pero también pueden ser expresadas como una serie de factores de la forma “ x – xi “ en donde “ xi “ son las raíces del polinomio.

Recordemos que una raíz es el valor de la variable “ x “ para la cual  el valor de “ y “ que le corresponde es cero. Esa es una de las propiedades de las raíces, pero no es la única. Otra propiedad es que si dividimos al polinomio dado por un binomio de la forma “ x – xi “ dicha división es exacta (resto cero).

Tengan en cuenta que, el objetivo en el Teorema de Gauss, es encontrar las raíces reales de un polinomio, para luego dejarlo expresado, a dicho polinomio, como una serie de productos de binomios de la forma  :

                                           a . (x-x1) .(x-x2)…..(x-xn)

Donde “a” es el coeficiente principal del polinomio (recordemos que el coeficiente principal es el coeficiente del termino de mayor grado) y n es el numero de raíces reales.

Y si bien aclaro que buscaremos las raíces reales, que es como se lo piden en el secundario, esto se podría extender a todas las raíces, incluso las complejas conjugadas, en caso de tenerlas, pero no veremos estos casos.

Veamos un ejemplo :

Sea el polinomio P(x) = 2x³ – 6x ²-26x + 30  Este es un polinomio de grado 3 con coeficiente principal "2" y termino independiente "30"

Para hallar las posibles raíces, debemos dividir a los divisores del termino independiente, por todos y cada uno de los divisores del coeficiente principal.

Los divisores de 30 son : 30, -3'0, 15, -15, 10, -10,  6, -6, 5, -5 , 3, -3, 2, -2, 1, -1

Los divisores de 2 son : 2, -2, 1, -1

Los cocientes entre cada divisor de 30 con todos y cada uno de los divisores de 2 son :

30/2 , 30/(-2) , 30/1 , 30/(-1) , -30/2 , -30/(-2) , -30/1 , -30/(-1) , 15/2 , 15/(-2) ,  15/1 , 15/(-1) ,  -15/2 , -15/(-2) , -15/1 , -15/(-1) , 10/2 , 10/(-2) , 10/1 , 10/(-1) , -10/2 , -10/(-2) , -10/1, -10/(-1),  6/2 , 6/(-2) , 6/1 , 6/(-1) , -6/2 , -6/(-2) , -6/1 , -6/(-1) , 5/2 , 5/(-2) , 5/1 , 5/(-1) , -5/2 , -5/(-2) , -5/1 , -5/(-1) , 3/2 , 3/(-2) , 3/1 , 3/(-1) , -3/2 , -3/(-2) , -3/1 , -3/(-1) , 2/2 , 2/(-2) , 2/1 , 2/(-1) , -2/2 , -2/(-2) , -2/1 , -2/(-1) , 1/2 , 1/(-2) , 1/1 , 1/(-1) , -1/2 , -1/(-1) , -1/1 , -1/(-1).

Puff  es bravo ¿no? pero estas son las posibles raíces de infinitos valores probables, y ademas hay valores que se repiten, por ejemplo 30/2  con -30/(-2) , -30/(-1) con 30/1 , 15/1 con -15/(-1) , -1/(-1) con 1/1 y así..De esa manera se reducen bastante las posibles raíces. Luego si se agrupar los valores que se repiten, nos quedan :

15, -15 , 15/2 , -15/2 , 10 , -10 , -6 ,  -6 , 5 , -5 ,  3 , -3 , 5/2 , -5/2 , 2 , -2 , 3(2 , -3/2 , 1, -1 , 1/2 , -1/2.

O sea que de 64 valores, nos quedan en definitiva  22 valores posibles en donde están las raíces reales del polinomio dado.

¿Y como sabemos cuales de estos 22 valores son raíces del polinomio?

Para averiguarlo, utilizaríamos la propiedad que dice que una raíz hace cero al polinomio , por lo que deberemos ir valuando al polinomio por esos valores hallados, o sea reemplazamos a "x" por los valores. Comenzamos con el mas fácil de entre ellos, que es X =1

P(1) = 2.(1)³ - 6(1)² -26(1) + 30 

P(1) = 2.1 - 6.1 -26 +30 

P(1)  = 2 - 6 -26 +30  

P(1) = 0

Por suerte vemos que con el primer valor que probamos, hemos encontrado una de las raíces. Por lo que una de las raíces es 1

¿Y ahora que hacemos?..

Ahora dividimos al polinomio dado por el binomio " x -1"  que surge de X -(+1) = x-1, ya que la raíz era positiva. A la división conviene hacerla por Ruffini. Aquí un gráfico al respecto :

Vemos que el cociente de esta división da un polinomio de segundo grado  : 2x² - 4x -30  con resto cero. Por lo que hasta ahora podríamos expresar al polinomio original, como el producto del divisor (x-1) por el cociente de la división : (x-1) . (2x² - 4x -30 ) pero el segundo factor, puede que no sea primo, o sea que puede contener otras raíces reales, por ello lo vamos a averiguar, pero si no tuviera raíces reales, el resultado final seria ese y el ejercicio habría terminado

Para hallar las raíces de  2x² - 4x -30 podríamos utilizar la formula de Baskara  (también llamada resolvente o cuadrática), ya que es un polinomio de segundo grado, pero voy a seguir el procedimiento que venia haciendo., o sea dividir los divisores del termino independiente, por todos y cada uno de los divisores del coeficiente principal, como ya esta hecho, las posibles raíces son :

15, -15 , 15/2 , -15/2 , 10 , -10 , -6 ,  -6 , 5 , -5 ,  3 , -3 , 5/2 , -5/2 , 2 , -2 , 3(2 , -3/2 , 1, -1

Ya hemos utilizado el valor 1, sin embargo, las raíces pueden ser dobles, triples, etc. por lo que volvemos a reemplazar por uno, por si este sea el caso :

2.(1)² -4(1) -30 = 2  - 4 - 30 = -32 como no da cero, el valor uno (1) no es raíz de este polinomio. Probemos con X = -1

2 (-1)² -4.(-1) - 30 =  2 + 4 -30 = 24 tampoco da cero, por lo que probamos con otro valor, el X = 2

2(2)² - 4(2) - 30 = 8 -12 -30 = -34 Tampoco da cero, probemos con X= -2

2(-2)² - 4(-2) - 30 = 8 + 8  -30 = - 14 Tampoco, probemos con X = 3

2.(3)² -4,(3) - 30 = 18 -12 -30 = -24 Tampoco, probemos con x = -3

2.(-3)² - 4.(-3) - 30 = 18 + 12 -30 = 0 ...  Vamos todavía, dio cero !!

Entonces, la segunda raíz es  3

Ahora dividimos al polinomio 2x² - 4x -30 por el binomio (x-3)

Vemos en la imagen que el cociente da  2x - 10  por lo que el polinomio 2x² - 4x -30 queda factorizado como el producto entre el cociente y el divisor así :

(x - 3) . (2x - 10) y si reemplazamos y el polinomio original queda :

(x - 1) . (x - 3) . (2x - 10) Si sacamos factor común un "2" de este ultimo binomio, nos queda  : (x -1).(x - 3) . 2. (x-5) = 2. (x - ) .(x-3) . (x-5)

Y así concluimos que el polinomio dado  2x³ – 6x ²-26x + 30   queda expresado en forma factorizada como   a (X -X1 ) . ( X -X2) . (X -X3 ) que para este ejemplo es :

2 . ( X -1 ) . ( X -3 ) . ( X - 5 )

Vídeo Teorema de Gauss

Saludos.

                    

Gráfico de un número irracional

Para graficar un numero irracional usaremos el teorema de Pitágoras.    

                                              ¿Como es eso?

Es así : El numero irracional a graficar, será la hipotenusa en un triangulo rectangular,  cuyos catetos debemos averiguar y, si estos son enteros, los vamos a graficar perpendiculares entre si, para luego formar la hipotenusa y llevarla a la recta numérica.

Veamos un ejemplo : Si quisiéramos graficar la raíz de 2, ésta será la hipotenusa, que llamaremos "H" en un triangulo rectangular, tal que elevada al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a los que llamaremos "A" y "B".

H ² =  A ²  +  B  ²

(raíz de 2 ) ²  = ( A ) ²  +  (B) ²

Pero no queremos graficar el cuadrado de la raíz de 2, si no la raíz de 2, por lo  que pasemos el cuadrado para el otro miembro y queda : raíz de 2 = raíz de [ ( ) ² + ( ) ² ] . He dejado vació los lugares en donde irían A y B, ya que estos son los catetos a averiguar. Ahora debemos hacernos una pregunta : ¿Cuál es el número menor, pero más cercano a dos,y que tienga raíz cuadrada exacta? La respuesta es el 1, por lo que adentro del primer paréntesis debemos poner la raíz de este, que también es el 1. Ahora nos preguntamos: ¿Cuanto nos falta para llegar al 2? La respuesta es otra vez el 1 y la raíz cuadrada de este va en el otro paréntesis. Por lo que, los catetos que deberíamos graficar, son A=1 y B=1. Si graficamos uno en la recta numérica y el otro perpendicular a este, habremos encontrado la hipotenusa (raíz de 2), que luego, con el compás, llevaremos a la recta numérica. En el siguiente ejemplo, incluiré un gráfico animado (Gif) que aclare el procedimiento:

Debemos graficar la raíz de 3

raíz de 3 =raíz de  [ (   ) ²  +  (   ) ² ]

Nos preguntamos ¿ Cual es el numero, menos a tres pero mas cercano a este, que tiene raíz cuadrada exacta? La respuesta es 1, cuya raíz pondremos dentro del primer paréntesis. Y ahora nos preguntamos ¿Cuanto le falta al uno para llegar al tres? Y como la respuesta es 2, adentro del segundo paréntesis ponemos la raíz de 2 . Pero alto ! el segundo cateto es un numero irracional (raíz de 2) por lo que deberíamos primero graficar este numero irracional siguiendo el procedimiento detallado mas arriba y luego de llevarlo a la recta numérica y perpendicular a el, graficar el otro cateto 1 Uniendo el cero con el extremo de este ultimo cateto (raíz de 2), tenemos la raíz de 3, que luego llevamos a la recta numérica con el copas. 

Veamos ahora como graficar la raíz cuadrada de 5

Planteamos :  raíz de 5 = raíz de [ (     )² + (    )² ] y nos preguntamos ¿ Cual es el numero, menor que 5 y mas cercano a el, que tiene raíz cuadrada exacta ? y la respuesta es 4, luego la raíz de 4 la ponemos dentro del primer paréntesis, ya que es uno de los dos catetos a graficar. La siguiente pregunta que debemos hacernos es ¿ Cuanto le falta al 4 para llegar a cinco ? y la respuesta es 1, luego a la raíz cuadrada de uno la ponemos dentro del segundo paracentesis, y es el segundo cateto a graficar.

Raíz de 5 = raíz de [ ( 2 )² +  ( 1 )² ]. Ahora vemos como es el procedimiento, en un dibujo animado, para graficar estos catetos y la hipotenusa, que es lo pedido :

Veamos el ejemplo de la  raíz de 7  : 

Para esto, empezamos con plantear que la Raíz de 7 = [ (  )²  +  (  )² ] y hacernos la primera pregunta : ¿ Cual es el numero, menor a 7 y mas cercano a el, que tiene raíz cuadrada exacta ?  cuya respuesta es 4, luego la raíz de cuatro va dentro del primer paréntesis que es uno de los catetos a graficar. Luego nos preguntamos ¿ Cuanto le falta al 4 para llegar al 7 ? y la respuesta es 3, luego la raíz de 3 va dentro del segundo paréntesis, pero no es un cateto a graficar, ya que no es un numero racional. Por lo tanto debemos graficar a la raíz de 3 con el mismo procedimiento, ya que es un numero irracional, es decir que planteamos : Raíz de 3 = [ (  )² +  (  )² ] y haciendo las preguntas correspondientes no quedan que los catetos a graficar son el 1 (uno) y la raíz de 2, pero nuevamente uno de los catetos (raíz de 2) no es un numero racional, por lo cual, previamente, debemos calcular los catetos para graficar la raíz de 2, que son, como ya hemos visto en la pagina anterior, ambos 1 (uno). Viendo esto, queda así :

Identidades Trigonométricas

Durante muchos años mis alumnos me preguntaban si había conceptos generales para poder resolver las identidades trigonométricas y luego de mucho pensar, llegué a la conclusión de que si las había. Estas son :

1-   Todo lo que no sea seno o coseno, llevarlo a seno o seno.  Ejemplo :

Si tienen una tangente, la ponen con seno / coseno. Si aparece una secante la ponen como 1 / coseno y así.

2-   Las suman o restas, multiplicación o división, hay que resolverlas. Ejemplo :

Si tienen 1 + tang²(a)  y teniendo en cuenta que el 1 es una fracción 1/1  y que tang²(a) es seno² (a) / cos² (a), vamos a sumar estas  dos fracciones.. Sacamos denominador común entre el 1 y el cos²(a) que es cos²(a). Luego dividimos el denominador común con cada uno de los denominadores y al resultado lo multiplicamos por los numeradores respectivos, dando como resultado :

1         sen²(a)            cos²(a) + sen²(a)              1

----  + ---------    =   -------------------------  =  --------------

1        cos²(a)              cos²(a)                     cos²(a)

3-  Por ultimo debemos recordar estas relaciones trigonométricas :

Tangente = senoß / cosenoß  ;  cotangenteß = coseno ß/seno ß 

 secanteß = 1 / cosenoß  ; cosecante ß= 1 / senoß 

 seno² ß+ coseno²ß = 1

NOTA : No es necesario que se trabaje con ambos miembros, a veces con trabajar con uno de ellos es suficiente para llegar a la igualdad.

Veamos ahora un ejercicio :

Debemos verificar si la siguiente igualdad trigonométrica se cumple :

1 + tag²(x) = sec²(x)

Aplicamos el concepto “ 1 “ en el primer miembro y luego resolvemos la suma de  estas  dos fracciones. Como ya lo he resuelto mas arriba,  el primer miembro queda igual a 1 / cos²(x) y esto es igual a sec(x)²  por lo cual se cumple que el primer miembro es igual al segundo miembro y queda verificada la igualdad.

Veamos otro  ejemplo :

1 + tag(x)

------------------ =  tag(x)         

 1 + cotag(x)      

                                   

Transformamos la tang(x) por sen(x) / cos(x)  y a cotag(x) por cos(x) / sen(x), quedando :

1 +  sen(x) / cos(x)

--------------------------  =  tag (x)       

1 +  cos(x) / sen(x)                     

 Sacando denominador común en el numerador el cos(x) y en el denominador el sen(x)

y  dividiendo estos denominadores comunes  por cada denominador  y  luego al resultado multiplicarlo por su numerador, queda :

cos(x) + sen(x)

----------------------

cos(x)

               ------------------------   =  tag (x)

sen(x) + cos(x)

-------------------

Sen(x)

Recuerden que en el cociente de dos fracciones de la forma

  A

-----

  B           

-------         

  C           

-----

  D

se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se obtiene multiplicando los extremos A y D dividido el producto de los medios B y C.

Por lo que simplificamos los “cos(x) + sen(x) “ quedando :

       1

  ---------

  cos(x)

-------------- = tag (x)       

      1                                         

-----------                                 

  sen(x)                                    

                                                 

En este punto multiplicamos los extremo  1 y sen(x) que va en el numerador del resultado y el producto de los medios  que va a ir en el denominador del  resultado. Verificando la igualdad

 sen(x)

---------- =  tag(x)   =>  tag(x) = tag(x)

cos(x)

Vídeos :

Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas_Parte 2

Saludos.