Durante muchos años mis alumnos me preguntaban si había conceptos generales para poder resolver las identidades trigonométricas y luego de mucho pensar, llegué a la conclusión de que si las había. Estas son :
1- Todo lo que no sea seno o coseno, llevarlo a seno o seno. Ejemplo :
Si tienen una tangente, la ponen con seno / coseno. Si aparece una secante la ponen como 1 / coseno y así.
2- Las suman o restas, multiplicación o división, hay que resolverlas. Ejemplo :
Si tienen 1 + tang²(a) y teniendo en cuenta que el 1 es una fracción 1/1 y que tang²(a) es seno² (a) / cos² (a), vamos a sumar estas dos fracciones.. Sacamos denominador común entre el 1 y el cos²(a) que es cos²(a). Luego dividimos el denominador común con cada uno de los denominadores y al resultado lo multiplicamos por los numeradores respectivos, dando como resultado :
1 sen²(a) cos²(a) + sen²(a) 1
---- + --------- = ------------------------- = --------------
1 cos²(a) cos²(a) cos²(a)
3- Por ultimo debemos recordar estas relaciones trigonométricas :
Tangente = senoß / cosenoß ; cotangenteß = coseno ß/seno ß
secanteß = 1 / cosenoß ; cosecante ß= 1 / senoß
seno² ß+ coseno²ß = 1
NOTA : No es necesario que se trabaje con ambos miembros, a veces con trabajar con uno de ellos es suficiente para llegar a la igualdad.
Veamos ahora un ejercicio :
Debemos verificar si la siguiente igualdad trigonométrica se cumple :
1 + tag²(x) = sec²(x)
Aplicamos el concepto “ 1 “ en el primer miembro y luego resolvemos la suma de estas dos fracciones. Como ya lo he resuelto mas arriba, el primer miembro queda igual a 1 / cos²(x) y esto es igual a sec(x)² por lo cual se cumple que el primer miembro es igual al segundo miembro y queda verificada la igualdad.
Veamos otro ejemplo :
1 + tag(x)
------------------ = tag(x)
1 + cotag(x)
Transformamos la tang(x) por sen(x) / cos(x) y a cotag(x) por cos(x) / sen(x), quedando :
1 + sen(x) / cos(x)
-------------------------- = tag (x)
1 + cos(x) / sen(x)
Sacando denominador común en el numerador el cos(x) y en el denominador el sen(x)
y dividiendo estos denominadores comunes por cada denominador y luego al resultado multiplicarlo por su numerador, queda :
cos(x) + sen(x)
----------------------
cos(x)
------------------------ = tag (x)
sen(x) + cos(x)
-------------------
Sen(x)
Recuerden que en el cociente de dos fracciones de la forma
A
-----
B
-------
C
-----
D
se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se pueden simplificar A con C y B con D, además el resultado se obtiene multiplicando los extremos A y D dividido el producto de los medios B y C.
Por lo que simplificamos los “cos(x) + sen(x) “ quedando :
1
---------
cos(x)
-------------- = tag (x)
1
-----------
sen(x)
En este punto multiplicamos los extremo 1 y sen(x) que va en el numerador del resultado y el producto de los medios que va a ir en el denominador del resultado. Verificando la igualdad
sen(x)
---------- = tag(x) => tag(x) = tag(x)
cos(x)
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Saludos.
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