Blog de TonySabe

 Números Complejos

Los números complejos aparecen cuando se intenta calcular la raíz par (por ejemplo cuadrada) de un numero negativo.  

Por ejemplo, la raíz cuadrada de -4. Si aplicamos el concepto general de una raiz cuadrada, pensaríamos en un numero que elevado al cuadrado diera -4 pero eso no es posible con los números conocidos (reales), porque loa raiz cuadrada de 2 es 4 y la raíz cuadrada de -2 tambien da 4 positivo. Es decir :

(2)² = 4

(-2)² = 4 

Ahora bien transformemos la raiz de -4 en 4 . (-1) que es lo mismo :

√ (-4) = √[ 4.(-1) ] y distribuyamos la raiz con respecto al producto :

√4 . √(-1) = Ahora la raiz de 4 es 2 pero aun debemos saber cuanto es la raiz de menos uno. Y se el dio el nombre de numero imaginario a la raiz cuadrada de menos uno. 2. i

Si √(-1) = i despejando la raiz cuadrada queda que -1 es igual a menos uno.

-1 = i2  

¿Cuanto seria i^{3 ?}

Como i³ = i^{2 .} i = -1 . i = -i

Entonces estamos en condiciones de conocer las cuatro potencias de i :

i⁰ = 1      i¹ = i      i² = -1     i³ = - i

Cualquier otra potencia de i se llevará a una de esas cuatro potencias ¿como?

Dividiendo la potencia que tengamos por cuatro y el resto de la división reemplazara a la potencia original.  Por ejemplo :

i⁹⁴ = i²= -1 

i¹⁷ = i¹= i

i⁴⁷ = i³= - i

i¹² = i⁰= 1

Un numero complejo se forma entre un numero real sumado o restado a un numero imaginario, por ejemplo : C = 2 + 3 i Donde el 2 es la parte real y el 3 i la parte imaginaria.Sean

Operaciones con Números Complejos

Sean ­­^­­­^­­­C­­^­­­^{­­­­­­­­}₁= 2 - 4 i  y  C₂= -3 + 7 i

Si queremos sumarlos, debemos hacerlo entre las partes reales entre si y las imaginarias entre si.

C­­^­­­^{­­­­­­­­}_{1 +} C₂  = (2 - 4 i) + (-3 + 7 i) Al quitar los paréntesis presididos por un signo mas, lo de adentro no cambian de signo.

2 - 4 i -3 + 7 i = -1 + 3 i

Si queremos restar C­­^­­­^{­­­­­­­­}_{1 -} C₂ = (2 - 4 i) - (-3 + 7 i) Los números presididos por un menos, si cambian de signo :

2 - 4 i +3 - 7 i = 5 - 11 i

Si queremos multiplicarlos  : C­­^­­­^{­­­­­­­­}_{1 x} C₂ = (2 - 4 i) x (-3 + 7 i) Debemos distribuir.

(2).(-3) + (2) .(7)i +(-4).(-3)i + (-4).(7)i2 

 Como i²= -1

- 6 + 14 i + 12 i -28 (-1) = - 6 +40 i + 28 = 22 + 40 i

Y como los dividimos?  C­­^­­­^{­­­­­­­­}_{1 /}  C₂  = (2 - 4 i) / (-3 + 7 i) 

Se debe multiplicar al numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. El conjugado de un numero complejo tiene la misma parte real y la parte imaginaria opuesta. EN este caso el conjugado de (-3 + 7 i) es (-3 - 7 i)

  (2 - 4 i)        (-3 - 7 i)      - 6 -14 i + 12 i + 28 i²

------------- x ----------- =  ----------------------------

 (-3 + 7 i)       (-3 - 7 i)       9 + 21 i - 21 i - 49 i²

 ^{- 6 -2 i + 28 . (-1)       - 6 - 2 i - 28       - 34 - 2 i}

^{----------------------- = ---------------- = -------------}

 9 - 49 . (-1)                   9 + 49                   58

Otro :

Sean:  a) z₁= 2 + 3.i   b) z₂= i    c) z₃= 1 – 2.i   d) z₄= 5 + 3.i   e) z₅= -3 - 3.i

Calcular:  (z₂ - (Z₄)^+ z₅) / (z₅)²

^Donde (Z₄)^ es el conjugado de Z₄

  ^{Resolvamos el numerador:}

 ^{El conjugado de z}₄ ^es  5 - 3.i 

^{i - ( 5 - 3i)  -3 – 3i =} 

_{i - 5 +  3i -3 -3i =}

_{- 8 + i} 

^{Ahora el denominador :}

(-3 – 3i)² = (-3)² + 2. (-3). (-3i) + (-3i)²

                         = 9 + 18 i + (-3)² (i)²

                 = 9 + 18 i + 9 (-1)

                 = 9 + 18 i – 9

                 =  18 i      

_{Dividamos :}

    ^{-8 + i}           -18 i             144 i - 18 i²

^{---------- x ---------- = -------------}

    18 i                    -18 i                 - 324 i²

 

- 144 i  - 18.(-1)         144 i + 18

---------------------- = ---------------

  -   324.(-1)                     324

 

Video en mi Canal :

Saludos.

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